/**
 * 不同的二叉搜索树
 *
 * 给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n
 * 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
 *
 * 示例 1：
 * 输入：n = 3
 * 输出：5
 *
 * 示例 2：
 * 输入：n = 1
 * 输出：1
 *
 * 提示：
 * 1 <= n <= 19
 */

/**
 * 动态规划, 我们假设 n 个节点存在二叉排序树的个数是 G (n)，令 f(i) 为以 i 为根的二叉搜索树的个数，则
 * G(n)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)
 * 当 i 为根节点时，其左子树节点个数为 i-1 个，右子树节点为 n-i，则
 * f(i)=G(i−1)∗G(n−i)
 *
 * 综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
 * G(n)=G(0)∗G(n−1)+G(1)∗(n−2)+...+G(n−1)∗G(0)
 * 时间复杂度 : O(n ^ 2)
 * 空间复杂度 : O(n)
 */

public class Main {
    public int numTrees(int n) {

        int[] dp = new int[n + 1];

        // 初始化
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }

        return dp[n];
    }
}